题目
计算:1×2+3×4+5×6+7×8+9×10+.99×100的值?
提问时间:2020-06-13
答案
首先可以知道存在这样一个数列{an}:1*2,2*3,3*4,...,99*100
可以看出数列的通项公式为 an=n(n+1)=n^2+n
从上面可以得到启示
1*2=1^2+1
2*3=2^2+2
3*4=3^2+3
.
.
.
99*100=99^2+99
于是原式=(1^2+2^2+3^2+...+99^2)+(1+2+3++...+99)
1到99的平方和可以用平方和公式 sn= n(n+1)(2n+1)/6(证明放在最后面)
即:1^2+2^2+3^2+...+99^2=99*100*199/6=328350
1+2+3+...+99=(1+99)99/2=4950
因此 原式=328350+4950=333300
(附)平方和公式证明如下
证明1+4+9+…+n^2=N(N+1)(2N+1)/6
1、N=1时,1=1(1+1)(2×1+1)/6=1
2、N=2时,1+4=2(2+1)(2×2+1)/6=5
3、设N=x时,公式成立,即1+4+9+…+x2=x(x+1)(2x+1)/6
则当N=x+1时,
1+4+9+…+x2+(x+1)2=x(x+1)(2x+1)/6+(x+1)2
=(x+1)[2(x2)+x+6(x+1)]/6
=(x+1)[2(x2)+7x+6]/6
=(x+1)(2x+3)(x+2)/6
=(x+1)[(x+1)+1][2(x+1)+1]/6
也满足公式
4、综上所述,平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立,得证.
可以看出数列的通项公式为 an=n(n+1)=n^2+n
从上面可以得到启示
1*2=1^2+1
2*3=2^2+2
3*4=3^2+3
.
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99*100=99^2+99
于是原式=(1^2+2^2+3^2+...+99^2)+(1+2+3++...+99)
1到99的平方和可以用平方和公式 sn= n(n+1)(2n+1)/6(证明放在最后面)
即:1^2+2^2+3^2+...+99^2=99*100*199/6=328350
1+2+3+...+99=(1+99)99/2=4950
因此 原式=328350+4950=333300
(附)平方和公式证明如下
证明1+4+9+…+n^2=N(N+1)(2N+1)/6
1、N=1时,1=1(1+1)(2×1+1)/6=1
2、N=2时,1+4=2(2+1)(2×2+1)/6=5
3、设N=x时,公式成立,即1+4+9+…+x2=x(x+1)(2x+1)/6
则当N=x+1时,
1+4+9+…+x2+(x+1)2=x(x+1)(2x+1)/6+(x+1)2
=(x+1)[2(x2)+x+6(x+1)]/6
=(x+1)[2(x2)+7x+6]/6
=(x+1)(2x+3)(x+2)/6
=(x+1)[(x+1)+1][2(x+1)+1]/6
也满足公式
4、综上所述,平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立,得证.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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