题目

设X1=a>0,Xn+1=1/2(Xn+1/Xn),利用单调有界准则证明数列｛Xn｝收敛,并求其极限.

提问时间：2020-05-22

答案

首先,由X1=a>0及Xn+1=1/2(Xn+1/Xn),得所有Xn>0(n为自然数).（由这个公式,可知Xn+1与Xn符合相同,而X1大于0,因此所有{Xn}中元素均大于0.这个是利用下面不等式的基础）
其次证明有界：Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)>=1/2*2*√(Xn*1/Xn)=1( 利用a+b>=2√ab).因此Xn>=1(n>1)
最后证明单调性：Xn+1-Xn=1/2(1/Xn-Xn).因为Xn>=1,因此1/Xn由单调有输准则,数列{Xn}收敛.
由上可知,其极限=1