题目

已知数列{an}的前n项和为Sn.对任何n属于N*都有Sn=2/3an-1/3,若1﹤Sk﹤9（k属于N*）,则k的值------

提问时间：2020-05-08

答案

∵Sn＝2/3 an－1/3 ∴3Sn＝2an－1 ∴3Sn＝2(Sn－Sn-1)－1
∴Sn＝﹣2Sn-1－1 ∴Sn＋1/3＝2(Sn-1＋1/3) ∴(Sn＋1/3)/(Sn-1＋1/3)＝2
∵Sn＝2/3 an－1/3 ∴S1＝2/3 a1－1/3 ∵S1＝a1 ∴S1＝﹣1
∴﹛Sn＋1/3﹜是首项为S1＋1/3＝﹣2/3公比为2的等比数列
∴Sn＋1/3＝(S1＋1/3)×(﹣2)^(n－1)＝﹣2/3×(﹣2)^(n－1)＝(﹣2)^n /3
∴Sn＝[(﹣2^n)－1]/3
∵1＜Sk＜9 ∴1＜[(﹣2^k)－1]/3＜9 ∴4＜(﹣2)^k＜28
∵k为奇数时,(﹣2)^k＜0 ∴k为偶数 ∴4＜2^k＜28
∴2²＜2^k＜28＜32＝2^5 ∴2＜k＜5 ∵k为偶数 k∈N* ∴k＝4