题目

三角形重心证明（详细）

提问时间：2020-05-07

答案

重心是三角形三边中线的交点,三线交一点可用燕尾定理证明,十分简单.证明过程又是塞瓦定理的特例.
已知：△ABC中,D为BC中点,E为AC中点,AD与BE交于O,CO延长线交AB于F.
求证：F为AB中点.  三角形重心
  证明：根据燕尾定理,S△AOB=S△AOC,又S△AOB=S△BOC,∴S△AOC=S△BOC,再应用燕尾定理即得AF=BF,命题得证.
重心的几条性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.   
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.   
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.   
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3   
5、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分.   证明：刚才证明三线交一时已证.   
6、重心是三角形内到三边距离之积最大的点.