题目

题型：上海模拟难度：来源：

如图所示，两根间距为L的金属导轨MN和PQ，电阻不计，左端弯曲部分光滑，水平部分导轨与导体棒间的滑动摩擦因数为μ，水平导轨左端有宽度为d、方向竖直向上的匀强磁场Ⅰ，右端有另一磁场Ⅱ，其宽度也为d，但方向竖直向下，两磁场的磁感强度大小均为B₀，相隔的距离也为d．有两根质量为m、电阻均为R的金属棒a和b与导轨垂直放置，b棒置于磁场Ⅱ中点C、D处．现将a棒从弯曲导轨上某一高处由静止释放并沿导轨运动下去．
（1）当a棒在磁场Ⅰ中运动时，若要使b棒在导轨上保持静止，则a棒刚释放时的高度应小于某一值h₀，求h₀的大小；
（2）若将a棒从弯曲导轨上高度为h（h＜h₀）处由静止释放，a棒恰好能运动到磁场Ⅱ的左边界处停止，求a棒克服安培力所做的功；
（3）若将a棒仍从弯曲导轨上高度为h（h＜h₀）处由静止释放，为使a棒通过磁场Ⅰ时恰好无感应电流，可让磁场Ⅱ的磁感应强度随时间而变化，将a棒刚进入磁场Ⅰ的时刻记为t=0，此时磁场Ⅱ的磁感应强度为B₀，试求出在a棒通过磁场Ⅰ的这段时间里，磁场Ⅱ的磁感应强度随时间变化的关系式．

答案

（1）因为a棒进入磁场Ⅰ后做减速运动，所以只要刚进入时b棒不动，b就可以静止不动．对a棒：由机械能守恒：mgh₀=

1

2

m₀²，
对回路：ε=BLv₀，I=

ε

2R

对b棒：BIL=μmg
联立解得：h₀=

2μ2m2gR2

B4L4

（2）由全过程能量守恒与转化规律：mgh=μmg2d+W_克A
解得：W_克A=mgh-μmg2d
（3）a棒通过磁场Ⅰ时恰好无感应电流，说明感应电动势为零，根据法拉第电磁感应定律ε=

△Φ

△t

，在△t≠0的前提下，△Φ=0即Φ保持不变
对a棒：由机械能守恒：mgh=

1

2

mv²
a棒进入磁场Ⅰ后，由牛顿第二定律得：a=μg
经过时间t，a棒进入磁场Ⅰ的距离为x=vt-

1

2

at²
磁通量Φ=B₀（d-x）L-B

d

2

L
又最初磁通量为Φ₀=B₀dL-B₀

d

2

L=

1

2

B₀dL=Φ
联立解得：B=B₀-

2B0

d

(

2ght

-

1

2

μgt2)．
答：（1）h₀的大小为

2μ2m2gR2

B4L4

．
（2）a棒克服安培力所做的功为mgh-μmg2d．
（3）磁场Ⅱ的磁感应强度随时间变化的关系式B=B₀-

2B0

d

(

2ght

-

1

2

μgt2)．