题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，两条平行的金属导轨相距L=lm，水平部分处在竖直向下的匀强磁场B₁中，倾斜部分与水平方向的夹角为37°，处于垂直于斜面的匀强磁场B₂中，两部分磁场的大小均为0.5T．金属棒MN和PQ的质量均为m=0.2kg，电阻分别为R_MN=0.5Ω和R_PQ=1.5Ω．MN置于水平导轨上，与水平导轨间的动摩擦因数μ=0.5，PQ置于光滑的倾斜导轨上，两根金属棒均与导轨垂直且接触良好．从t=0时刻起，MN棒在水平外力F₁的作用下由静止开始以a=2m/s²的加速度向右做匀加速直线运动，PQ则在平行于斜面方向的力F₂作用下保持静止状态．不计导轨的电阻，水平导轨足够长，MN始终在水平导轨上运动．求：
（1）t=5s时，PQ消耗的电功率；
（2）t=0～2.0s时间内通过PQ棒的电荷量；
（3）规定图示F₁、F₂方向作为力的正方向，分别求出F₁、F₂随时间t变化的函数关系；
（4）若改变F₁的作用规律，使MN棒的运动速度v与位移s满足关系：v=0.4s，PQ棒仍然静止在倾斜轨道上．求MN棒从静止开始到s=5m的过程中，F₁所做的功．

答案

（1）金属棒MN在t=5s时的速度为：
v=at=2×5m/s=10m/s
电动势为：
E=BLv=0.5×1×10V=5V
电流为：I=

E

RMN+RPQ

=

5

0.5+1.5

A=2.5A
则PQ消耗的电功率为：
P_PQ=I²R_PQ=2.5²×1.5W=9.375W
（2）t=0～2.0s时间内金属棒MN运动的位移为：
s=

1

2

at2=

1

2

×2×22m=4m
t=0～2.0s时间内穿过回路MNQP磁通量的变化量：
△φ=B₁Ls=0.5×1×4Wb=2Wb
t=0～2.0s时间内通过PQ棒的电荷量为：
q=

.

I

•t=

. E

RMN+RPQ

•t=

△φ

RMN+RPQ

=

2

0.5+1.5

C=1C
（3）金属棒MN做匀加速直线运动过程中，电流为：
I=

BLv

RMN+RPQ

=

BLat

RMN+RPQ

=

0.5×1×2×t

0.5+1.5

=0.5t（A）
对MN运用牛顿第二定律得：
F₁-BIL-F_f=ma
F₁=ma+μmg+BIL
代入数据得：F₁=（1.4+0.25t）（N）
金属棒PQ处于静止状态，根据平衡条件得：
F₂+BIL=mgsin37°
代入数据得：F₂=（1.2-0.25t）（N）
（4）MN棒做变加速直线运动，当s=5m时，v_t=0.4s=0.4×5m/s=2m/s
因为速度v与位移s成正比，所以电流I、安培力也与位移s成正比，安培力做功：
W_B=-

.

FA

s=-

1

2

BL

BLvt

RMN+RPQ

•s=-

1

2

×

0．52×12×2

0.5+1.5

×5J=-0.625J
MN棒动能定理：W_F1-μmgs=

1

2

m

v

2t

-0
W_F1=

1

2

m

v

2t

+μmgs-W_B=

1

2

×0.2×22+0.5×0.2×10×5+0.625=6.025J
答：（1）t=5s时，PQ消耗的电功率为9.375W；
（2）t=0～2.0s时间内通过PQ棒的电荷量为1C；
（3）F₁随时间t变化的函数关系为F₁=（1.4+0.25t）N，F₂随时间t变化的函数关系为F₂=（1.2-0.25t）N；
（4）MN棒从静止开始到s=5m的过程中，F₁所做的功为6.025J．