题目

题型：同步题难度：来源：

如图所示，一质量为M的小车静止在光滑水平面上，水平面左右两侧均为固定的竖直墙壁，左侧与一光滑固定的1/4圆弧相连，半径R＝0.8 m，圆弧底端切线水平且与车的上表面平齐，将一质量为m的小滑块(可视为质点)从圆弧顶端由静止释放后滑下，滑块与车的上表面间的动摩擦因数μ＝0.3，已知M＝3m，小车所在的水平面足够长(即滑块与小车的速度相同前小车不会与墙壁相碰)，且小车每次与墙壁的碰撞都不损失机械能(取g＝10 m/s²)．求：
(1)小车第一次与墙壁相碰前的速度．
(2)要保证滑块始终不从车上掉下来，车长至少为多少？

答案

解：(1)滑块下滑到圆弧底端时速度设为v₀，第一次与墙壁碰撞前共同速度设为v₁
根据机械能守恒：mgR＝mv₀² ①
滑块在车上滑动过程中系统动量守恒：mv₀＝(m＋M)v₁ ②
又由题意知：M＝3m ③
联立①②③并代入数据解得：v₁＝1 m/s
即小车第一次与墙壁相碰撞前的速度为1 m/s
(2)设小车第一次与墙壁相碰撞前滑块在车上相对滑过的距离设为l₁，根据能量守恒有：
μmgl₁＝mv₀²－(m＋M)v₁² ④
小车第一次与墙壁碰后反向向左运动，二者共同速度运动时的速度设为v₂
在此过程中，车与滑块系统动量守恒：Mv₁－mv₁＝(M＋m)v₂ ⑤
设此过程中滑块相对小车向右滑动的距离为l₂
根据能量守恒有：μmgl₂＝(m＋M)v₁²－(m＋M)v₂² ⑥
经研究发现，此后小车与墙壁两侧分别碰撞后，滑块与小车系统损失的机械能逐次减少，相对滑过的距离也减小，而且相对滑动的方向依次改变，故车长至少应为l＝l₁＋l₂ ⑦
联立④⑤⑥⑦并代入数据解得：l＝2.5 m