题目

题型：北京难度：来源：

（1）如图1所示，ABC为一固定在竖直平面内的光滑轨道，BC段水平，AB段与BC段平滑连接．质量为m₁的小球从高位h处由静止开始沿轨道下滑，与静止在轨道BC段上质量为m₂的小球发生碰撞，碰撞后两球的运动方向处于同一水平线上，且在碰撞过程中无机械能损失．求碰撞后小球m₂的速度大小v₂；
（2）碰撞过程中的能量传递规律在屋里学中有着广泛的应用．为了探究这一规律，我们才用多球依次碰撞、碰撞前后速度在同一直线上、且无机械能损失的简化力学模型．如图2所示，在固定光滑水平轨道上，质量分别为m₁、m₂、m₃…m_n-1、m_n…的若干个球沿直线静止相间排列，给第1个球初能E_k1，从而引起各球的依次碰撞．定义其中第n个球经过依次碰撞后获得的动能E_k与E_k1之比为第1个球对第n个球的动能传递系数k_1n．
a．求k_1n；
b．若m₁=4m₀，m_k=m₀，m₀为确定的已知量．求m₂为何值时，k_1n值最大

答案

（1）设碰撞前的速度为

V

210

，根据机械能守恒定律  m1gh=

1

2

m1

v

210

         ①
设碰撞后m₁与m₂的速度分别为v₁和v₂，根据动量守恒定律   m₁v₁₀=m₁v₁+m₂v₂          ②
由于碰撞过程中无机械能损失  

1

2

m1

v

210

=

1

2

m1

v

21

+

1

2

m2

v

22

     ③
②、③式联立解得v2=

2m1v10

m1+m2

              ④
将①代入得④v2=

2m1 2gh

m1+m2

．
（2）a．由④式，考虑到 E_K1=

1

2

m₁V₁₀² 
                                   E_K2=

1

2

m₂V₂²   得
根据动能传递系数的定义，对于1、2两球  k12=

Ek2

Ek1

=

4m1m2

(m1+m2)2

    ⑤
同理可得，球m₂和球m₃碰撞后，动能传递系数k₁₃应为 k13=

Ek3

Ek1

=

Ek2

Ek1

•

Ek3

Ek2

=

4m1m2

(m1+m2)2

•

4m2m3

(m2+m3)2

      ⑥
依此类推，可以归纳得出，动能传递系数k_1n应为 k_1n=

Ekn

Ek1

=

Ek2

Ek1

•

Ek3

Ek2

…

Ekn

Ek(n-1)

=

4m1m2

(m1+ m2)2

•

4m2m3

(m2+ m3)2

…

4m(n-1)mn

(m(n-1)+ mn)2

，
即  k1n=

4n-1m1 m 22 m 23 … m 2n-1 mn

(m1+m2)2(m2+m3)2…(mn-1+mn)2

．
b．将m₁=4m₀，m₃=m_o代入⑥式可得 k₁₃=64m₀²[

m2

(4m0+m2)(m0+m2)

]² 
为使k₁₃最大，只需使

m2

(4mo+m2)(m2+m0)

=

1

4 m 20

最大，即m2+

4 m 20

m2

取最小值，
由

m2+ 4 m 20 m2 =( m2 - 2m0 m2 )2+4m0可知

当

m2

=

2m0

m2

，即m2=2m0时，k13最大．
答：（1）碰撞后小球m₂的速度大小v2=

2m1 2gh

m1+m2

；
（2）当m₂=2m₀ 时，k₁₃值最大．