题目

题型：不详难度：来源：

飞行时间质谱仪可以根据带电粒子的飞行时间对气体分子进行分析．如图所示，在真空状态下，自脉冲阀P喷出微量气体，经激光照射产生不同正离子，自a板小孔进入a、b间的加速电场，从b板小孔射出，沿中线方向进入M、N板间的方形区域，然后到达紧靠在其右侧的探测器．已知极板a、b间的电压为U₀，间距为d，极板M、N的长度和间距均为L．不计离子重力及经过a板时的初速度．
（1）若M、N板间无电场和磁场，请推导出离子从a板到探测器的飞行时间t与比荷k（k=

q

m

，q和m分别为离子的电荷量和质量）的关系式；
（2）若在M、N间只加上偏转电压U₁，请论证说明不同正离子的轨迹是否重合；
（3）若在M、N间只加上垂直于纸面的匀强磁场．已知进入a、b间的正离子有一价和二价的两种，质量均为m，元电荷为e．要使所有正离子均能通过方形区域从右侧飞出，求所加磁场的磁感应强度的最大值B_m．

答案

（1）带电离子在平行板a、b之间运动时，由动能定理，qU₀=

1

2

mv²
解得：v=

2qU0 m

，
即：v=

2kU0

…①
带电离子在平行板a、b之间的加速度：a₁=

qU0

dm

，
即：a₁=

kU0

d

．
所以带电离子在平行板a、b之间的运动时间：t₁=

v

a1

=

d 2kU0

kU0

．
带电离子在平行板M、N之间的运动时间：t₂=

L

v

=

L

2kU0

．，
所以带电离子从a板到探测器的飞行时间为：t=t₁+t₂=

2d+L

2kU0

．
（2）带电离子在平行板M、N之间水平位移为x时，在竖直方向位移为y，
水平方向满足：x=vt，
竖直方向满足：y=

1

2

a₂t²，a₂=

kU1

L

联立解得：y=

U1x2

4LU0

…②
②式是正离子的轨迹方程，与正离子的质量和电荷量均无关系，所以不同正离子的轨迹是重合的．
（3）当MN间的磁感应强度大小为B时，离子做圆周运动，满足qvB=

mv2

R

…③
由①③两式解得带电离子的轨道半径R=

2U0m B2q

…④
上式表明：在离子质量一定的情况下，离子的电荷量越大，在磁场中做圆周运动的半径越小，也就越不容易穿过方形区从右侧飞出．所以，要使所有的一价和二价正离子均能通过方形区从右侧飞出，只要二价正离子能从方形区飞出即可．当二价正离子刚好能从方形区刚好能从方形区域飞出时的磁感应强度为满足题目条件的磁感应强度的最大值．
设当离子刚好通过方形区从右侧飞出时的轨道半径为R，由几何关系得：
R²=L²+（R-

L

2

）²
解得：R=

3

4

L…⑤
将二价正离子的电荷量2e代人④得，R=

U0m B2e

…⑥
由⑤⑥式得：B=

4

5L

U0m e

．
此值即为所求的所加磁场的磁感应强度的最大值B_m．
答：（1）离子从a板到探测器的飞行时间t是

2d+L

2kU0

，
（2）若在M、N间只加上偏转电压U₁，正离子的轨迹方程，与正离子的质量和电荷量均无关系，所以不同正离子的轨迹是重合的．；
（3）要使所有正离子均能通过方形区域从右侧飞出，所加磁场的磁感应强度的最大值是

4

5L

U0m e

．