题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，半径r=0.80m的光滑金属半球壳ABC与水平面在C点连接，一质量m=0.10kg的小物块在水平面上距C点s=1.25m的D点，以不同的初速度向C运动．O点是球心，D、C、O三点在同一直线上，物块与水平面间的动摩擦因数µ=0.20，取g=10m/s²．
（1）若物块运动到C点时速度为零，恰好沿球壳滑下，求物块滑到最低点B时对球壳的压力大小．
（2）若物块运动到C点水平飞出，恰好落在球壳的最低点B，求物块在D点时的初速度大小．
（3）通过分析判断小物块能否垂直撞击球壳．

答案

（1）设小物块滑到最低点B的速度为v_B，受到球壳的支持力为N_B，则在小物块从C至B的过程中只有重力做功，根据动能定理有：
mgr=

1

2

m

v

2B

-0
可得：vB=

2gr

小物块在B点所受合力提供其圆周运动向心力，根据牛顿第二定律有：
NB-mg=m

v 2B

r

得：NB=mg+m

v 2B

r

=mg+m

2gr

r

=3mg=33×10×0.1N=3N
根据牛顿第三定律可知，小物块在B点对半球壳的压力为3N；
（2）小物块从C点水平滑出做平抛运动，其恰好落在B点，则可知小物块在平抛过程中：
水平位移x=r=v_ct…①
竖直位移y=r=

1

2

gt2…②
由①和②可得：vC=

r

t

=

r

2r g

=

gr 2

=

10×0.8 2

m/s=2m/s
小物块在从D到C的过程中只有滑动摩擦力做功，根据动能定理有：
-μmgs=

1

2

m

v

2C

-

1

2

m

v

2D

解得：vD=

v 2C +2μgs

=

22+2×0.2×1.25

m/s=3m/s
（3）若物块撞击球壳BC段，速度方向斜向左下方，则不可能垂直撞击半球壳，若小球落在AB上的E点，OE与竖直方向的夹角为θ，E点时速度与竖直方向夹角为α，则小球从C到E做平抛运动有：
竖直方向位移：y=rcosθ=

1

2

gt2，
所以其运动时间为：t=

2rcosθ g

在E点竖直分速度：v_y=gt=

2grcosθ

小物块在水平方向的位移为：x=r+rsinθ=v_Ct=vC

2rcosθ g

在E点水平分速度：vc=

r+rsinθ

2rcosθ g

所以在E点小物块速度方向与竖直方向的夹角的正切值：
tanα=

vx

vy

=

r+rsinθ 2rcosθ g

2grcosθ

=

r+rsinθ

2rcosθ

=

1+sinθ

2cosθ

因为：tanα=

1+sinθ

2cosθ

＞tanθ
所以小球不可能垂直撞击球壳．
答：（1）若物块运动到C点时速度为零，恰好沿球壳滑下，物块滑到最低点B时对球壳的压力大小为3N；
（2）若物块运动到C点水平飞出，恰好落在球壳的最低点B，物块在D点时的初速度大小为3m/s；
（3）小球不可能垂直撞击球壳．