题目

题型：不详难度：来源：

在竖直面内有一光滑水平直轨道和一光滑半圆形轨道，二者在半圆的一个端点B相切，如图所示，半圆形轨道的另一端点为C，半径为R。在直轨道上距离B为x的A点，有一可看作质点的质量为m的小球处于静止状态。现用水平恒力将小球推到B处后撤去恒力，小球沿半圆轨道运动到C处后又落到水平面上。求：

（1）若小球正好落到出发点A处，在这种情况下：
①用x和给出的已知量来表达推力对小球所做的功；
②x取何值时，水平恒力做功最小？最小值为多少？
（2）在任意情况下，x取任意值，求小球在B处和C处对轨道的压力大小之差？

答案

（1）①
②x=2R时，
（2）6mg     

解析

（1）若正好落到出发点A处，则小球由C到A做平抛运动。
①设小球在C处的速度为v_C，由运动学知识知：
在水平方向上有x=v_Ct                                                                                                  （1分）
在竖直方向上有y=2R=                                                                                        （1分）
对小球从A到C由动能定理得                                          （1分）
联立解得：，                                                              （1分）
②当W_F有最小值时，小球恰能到达C处（设此时小球的速度为v₀），有    （1分）
又小球仍能落到A处，由v₀²=v_C²可得x=2R                                                                   （2分）
则                                                                                                            （1分）
（2）当小球在B处时，                                                                    （1分）
当小球在C处时，                                                                             （1分）
小球从B到C由机械能守恒得                                           （1分）
由以上三式可得△F=F_B-F_C=6mg                                                                                          （1分）