题目

题型：南京模拟难度：来源：

在美英联军发动的对伊拉克的战争中，美国使用了先进的侦察卫星．据报道，美国有多颗最先进的KH-1、KH-2“锁眼”系列照相侦察卫星可以通过西亚地区上空，“锁眼”系列照相侦察 卫星绕地球沿椭圆轨道运动，近地点265km（指卫星与地面的最近距离），远地点650km（指卫星与地面的最远距离），质量13.6-18.2t．这些照相侦察卫星上装有先进的CCD数字照相机，能够分辨出地面上0.1m大小的目标，并自动地将照片传给地面接收站及指挥中心．由开普勒定律知道：如果卫星绕地球做圆周运动的圆轨道半径跟椭圆轨道的半长轴相等，那么，卫星沿圆轨道的周期跟卫星沿椭圆轨道运动的周期相等．请你由上述数据估算这些“锁眼”系列照相侦察卫星绕地球运动的周期和卫星在远地点处的运动速率．地球的半径R=6400km，g取10m/s²．（保留两位有效数字）

答案

设远地点距地面h₁=650km，近地点距地面h₂=265km，远地点距地心距离为r₁=h₁+R=7050km，
根据题意可知，卫星绕地球做匀速圆周运动的等效半径为
r=

1

2

(h1+h2+2R)=

1

2

(265+650+6400×2)km=6857.5km
设卫星绕地球运动的周期为T，根据万有引力定律提供向心力有：
G

Mm

r2

=m(

2π

T

)2r  ①
  G

Mm

r12

=m

v2

r1

  ②
物体在地球表面的重力等于万有引力，即G

Mm

R2

=mg  ③
由①③两式可得T=

2πr

R

r g

代入数据T=

2×3.14×6.9×106

6.4×106

×

6.9×106 10

s=5.6×103s
由②③两式可得v=R

g r1

=6.4×106×

10 7.0×106

m/s=7.6×103m/s
答：侦察卫星绕地球运动的周期为5.6×10³s，卫星在远地点处的运动速率为7.6×10³m/s．