题目

题型：不详难度：来源：

曲线上某处的曲率半径反映的是曲线的弯曲程度，曲率半径越小，说明曲线弯曲的程度越高；曲率半径相同，曲线弯曲程度相同．如图所示，发射卫星时先让卫星在近地轨道1上做圆周运动，后让卫星在以地球为一个焦点的椭圆轨道2上运动，最后让卫星进入同步轨道3做圆周运动．已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，同步轨道的半径为r₀，卫星的质量为m₀．当质量为m的卫星离地心的距离为r时，其引力势能的表达式为E_p=-

GMm

r

（式中M为地球质量），不计近地轨道距地面的高度．
（1）求卫星在近地轨道的线速度v₁，和在同步轨道的线速度v₃．
（2）卫星在椭圆轨道2上近地点处、远地点处的运动均可当作圆周运动处理，圆周运动的半径可用近、远地点处的曲率半径ρ（未知）来表示，求卫星在轨道2上运动时经过近地点的速率”：和远地点的速率v₂′之比．
（3）需要给卫星提供多少能量才能使其从轨道2的远地点变轨到轨道3上？

答案

（1）根据万有引力提供向心力，
对于近地卫星，由于卫星贴近地球表面，则
     G

Mm

R2

=m

v 21

R

  ①
对于同步卫星，有
    G

Mm

r 20

=m

v 23

r0

  ②
又对于物体在地球表面时，万有引力近似等于重力，则有
    m′g=G

Mm′

R2

  ③
由①②③解得，v₁=

gR

，v₃=

gR2 r0

（2）由题，卫星在椭圆轨道2上近地点处、远地点处的运动均可当作圆周运动处理，则得
    v₁′=v₁，r₂′=v₂，
所以v₁′：v₂′=

gR

：

gR2 r0

=

r0

：

R

  
（3）卫星在椭圆轨道2上近地点处，有 引力势能为E_p1=-

GMm

R

，动能为E_k1=

1

2

m

v

21

=

1

2

m•(

gR

)2=

1

2

mgR
轨道3上卫星的引力势能为  E_p2=-

GMm

r0

，动能为E_k2=

1

2

m

v

23

=

mgR2

2r0

设需要给卫星提供能量为E时，能使其从轨道2的远地点变轨到轨道3上，根据能量守恒得：
   E=（E_p2+E_k2）-（E_p1+E_k1）=（-

GMm

r0

+

mgR2

2r0

）-（-

GMm

R

+

1

2

mgR）=-

GMm

r0

+

mgR2

2r0

+

GMm

R

-

1

2

mgR．
答：（1）卫星在近地轨道的线速度v₁为

gR

，在同步轨道的线速度v₃为

gR2 r0

．
（2）卫星在轨道2上运动时经过近地点的速率v₁′和远地点的速率v₂′之比为

r0

：

R

．
（3）需要给卫星提供-

GMm

r0

+

mgR2

2r0

+

GMm

R

-

1

2

mgR的能量才能使其从轨道2的远地点变轨到轨道3上．