题目

题型：不详难度：来源：

在22世纪末，一宇航员乘宇宙飞船到达一半径为r的某星球地面，（该星球地面的重力加速度g未知）．他将所带的一个如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率从半圆管下入口处进入管内，测得A通过最高点C后，从C点平抛飞落到水平面上耗时为T．测得B通过最高点C时，对管壁上下部的压力均为0，还测得A、B两球落地点间的水平距离差为4R，且A球射出C点时的速度v_A大于B球射出C点时的速度v_B，已知万有引力恒量为G，忽略该星球的自转，球的体积公式为V=

4

3

πr³．求：
（1）该星球地面的重力加速度g；
（2）该星球的密度ρ；
（3）A通过最高点C时，管壁上部对A的压力为多大？

答案

（1）A球从C点作平抛运动，则有：2R=

1

2

gT2…①
得出该星球地面的重力加速度：g=

4R

T2

…②
（2）根据万有引力等于物体在该星球上的重力，即：G

Mm

r2

=mg…③
星球的密度为：ρ=

M

V

…④
球的体积公式为：V=

4

3

πr³…⑤
联立②～⑤式，得：ρ=

3R

πGT2r

…⑥
（3）A球在最高点C时，受重力和管壁对A的压力，这两个力的合力提供向心力，由牛顿第二定律，有：F+mg=m

v 2A

R

…⑦
同样，B球在C点由重力提供向心力，由牛顿第二定律，有：mg=m

v 2B

R

…⑧
A、B两球落地点间的水平距离差为4R，有：v_AT-v_BT=4R…⑨
联立②⑦⑧⑨式得：F=

32mR

T2

…⑩
答：（1）该星球地面的重力加速度为

4R

T2

；
（2）该星球的密度为ρ=

3R

πGT2r

；
（3）A通过最高点C时，管壁上部对A的压力为

32mR

T2

．