题目

题型：江苏难度：来源：

如图所示，三个质量均为m的弹性小球用两根长均为L的轻绳连成一条直线而静止在光滑水平面上．现给中间的小球B一个水平初速度v₀，方向与绳垂直．小球相互碰撞时无机械能损失，轻绳不可伸长．求：
（1）当小球A、C第一次相碰时，小球B的速度．
（2）当三个小球再次处在同一直线上时，小球B的速度．
（3）运动过程中小球A的最大动能E_KA和此时两根绳的夹角θ．
（4）当三个小球处在同一直线上时，绳中的拉力F的大小．

答案

（1）设小球A、C第一次相碰时，小球B的速度为v_B，考虑到对称性及绳的不可伸长特性，小球A、C沿小球B初速度方向的速度也为v_B，由动量守恒定律，得
mv₀=3mv_B
由此解得
vB=

1

3

v0
即当小球A、C第一次相碰时，小球B的速度为

1

3

v0．
（2）当三个小球再次处在同一直线上时，则由动量守恒定律和机械能守恒定律，得
mv₀=mv_B+2mv_A

1

2

m

v

20

=

1

2

m

v

2B

+2×

1

2

m

v

2A

解得
vB=-

1

3

v0
vA=

2

3

v0（三球再次处于同一直线）
另一组解为
v_B=v₀
v_A=0（为初始状态，舍去）
所以，三个小球再次处在同一直线上时，小球B的速度为vB=-

1

3

v0（负号表明与初速度反向）
（3）当小球A的动能最大时，小球B的速度为零．设此时小球A、C的速度大小为u，两根绳间的夹角为θ（如图），则仍由动量守恒定律和机械能守恒定律，得
mv0=2musin

θ

2

1

2

m

v

20

=2×

1

2

m

u

2

另外，EKA=

1

2

mu2
由此可解得，小球A的最大动能为EKA=

1

4

mv02，此时两根绳间夹角为θ=90°
即运动过程中小球A的最大动能E_KA为

1

4

mv02、此时两根绳的夹角θ为90°．
（4）小球A、C均以半径L绕小球B做圆周运动，当三个小球处在同一直线上时，以小球B为参考系（小球B的加速度为0，为惯性参考系），小球A（C）相对于小球B的速度均为
v=|v_A-v_B|
所以，此时绳中拉力大小为：
F=m

v2

L

=m

v 20

L

即当三个小球处在同一直线上时，绳中的拉力F的大小为m

v 20

L

．