题目

题型：桂林模拟难度：来源：

如下图甲所示，在以O为坐标原点的xOy平面内，存在着范围足够大的电场和磁场．一个带正电小球在0时刻以v₀=3gt₀的初速度从O点沿+x方向（水平向右）射入该空间，在t₀时刻该空间同时加上如下图乙所示的电场和磁场，其中电场沿+y方向（竖直向上），场强大小E0=

mg

q

，磁场垂直于xOy平面向外，磁感应强度大小B0=

πm

qt0

．已知小球的质量为m，带电量为q，时间单位t₀，当地重力加速度g，空气阻力不计．试求：


（1）12t₀末小球速度的大小．
（2）在给定的xOy坐标系中，大体画出小球在0到24t₀内运动轨迹的示意图．
（3）30t₀内小球距x轴的最大距离．

答案

（1）0～t₀内，小球只受重力作用，做平抛运动．当同时加上电场和磁场时，电场力：F₁=qE₀=mg，方向向上，因为重力和电场力恰好平衡，所以在电场和磁场同时存在时小球只受洛伦兹力而做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有：
qvB0=m

v2

r

，
运动周期：T=

2πr

v

联立解得：T=2t₀
电场、磁场同时存在的时间正好是小球做圆周运动周期的5倍，即在这10t₀内，小球恰好做了5个完整的匀速圆周运动．所以小球在t₁=12 t₀时刻的速度相当于小球做平抛运动t=2t₀时的末速度．
v_y1=g?2t₀=2gt₀，所以12t₀末：
v1=

v 2x + v 2y1

=

13

gt0
答：12t₀末小球速度的大小为

13

gt0．
（2）开始12t₀时间内小球完成5个圆周运动和部分平抛运动，在接下来的12t₀时间运动规律类似，但是小球速度变大，运动班级变大，故24t₀内运动轨迹的示意图如右图所示．



（3）由下图分析可知，小球在30t₀时与24t₀时的位置相同，在24t₀内小球做了t₂=3t₀的平抛运动，和半个圆周运动．
23t₀末小球平抛运动的竖直分位移大小为：



y2=

1

2

g(3t0)2=

9

2

g

t

20

竖直分速度：v_y2=3gt₀
所以小球与竖直方向的夹角为θ=45°，速度大小为：
v2=3

2

gt0
此后小球做匀速圆周运动的半径：
r2=

mv2

qB0

=

3 2 g t 20

π

30t₀末小球距x轴的最大距离：
y₃=y₂+（1+cos45°）r₂=(

9

2

+

3+3 2

π

)g

t

20

答：30t₀内小球距x轴的最大距离为：(

9

2

+

3+3 2

π

)g

t

20

．