题目

题型：江苏难度：来源：

如图所示，一轻绳吊着粗细均匀的棒，棒下端离地面高H，上端套着一个细环．棒和环的质量均为m，相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg（k＞1）．断开轻绳，棒和环自由下落．假设棒足够长，与地面发生碰撞时，触地时间极短，无动能损失．棒在整个运动过程中始终保持竖直，空气阻力不计．求：
（1）棒第一次与地面碰撞弹起上升过程中，环的加速度；
（2）从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间，棒运动的路程S；
（3）从断开轻绳到棒和环都静止，摩擦力对环及棒做的总功W．

答案

（1）设棒第一次上升过程中，环的加速度为a_环，
由牛顿第二定律得：kmg-mg=ma_环
解得：a_环=（k-1）g，方向竖直向上
（2）设棒第一次落地的速度大小为v₁
由机械能守恒得：

1

2

2m

v

21

=2mgH
解得：v1=

2gH

设棒弹起后的加速度为a_棒，由牛顿第二定律得：
a_棒=-（k+1）g
棒第一次弹起的最大高度为：H1=

v 21

2a棒

解得：H1=

H

k+1

棒运动的路程为：S=H+2H1=

k+3

k+1

H
（3）解法一：
棒第一次弹起经过t₁时间，与环达到相同速度v′₁
环的速度：v′₁=-v₁+a_环t₁
棒的速度：v′₁=v₁+a_棒t₁
环的位移：h环1=-v1t1+

1

2

a环

t

21

棒的位移：h棒1=v1t1+

1

2

a棒

t

21

环第一次相对棒的位移为：x1=h环1-h棒1=-

2H

k

棒环一起下落至地：

v

22

-

v

/21

=2gh棒1
解得：v2=

2gH k

同理，环第二次相对棒的位移为x2=h环2-h棒2=-

2H

k2

…xn=-

2H

kn

环相对棒的总位移为：x=x₁+x₂+…+x_n
摩擦力对棒及环做的总功为：W=kmgx=-

2kmgH

k-1

解法二：
设环相对棒滑动距离为l
根据能量守恒  mgH+mg（H+l）=kmgl
摩擦力对棒及环做的总功为：W=-kmgl
解得：W=-

2kmgH

k-1

．
答：（1）环的加速度为（k-1）g，方向竖直向上．
（2）从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间，棒运动的路程：S=H+2H1=

k+3

k+1

H．
（3）从断开轻绳到棒和环都静止，摩擦力对环及棒做的总功W=-

2kmgH

k-1

．