题目

题型：不详难度：来源：

（附加题，本题不计入总分，仅供同学们思考）如图所示，质量为3m的足够长木板C静
止在光滑水平面上，质量均为m的两个小物体A、B放在C的左端，A、B间相距s₀，现同时对A、B施加水平向右的瞬时冲量而使之分别获得初速度v₀和2v₀，若A、B与C之间的动摩擦因数分别为μ和2μ，则
（1）最终A、B、C的共同速度为多大？
（2）求运动过程中A的最小速度？
（3）A与B最终相距多远？
（4）整个过程中A、B与木板C因摩擦所产生的热量之比为多大？

答案

（1）根据动量守恒定律得
   mv₀+2mv₀=（m+m+3m）v
解得v=0.6v₀  
（2）设经过t时间，A与C相对静止，共同速度为v_AC，此时B的速度为v_B，由动量守恒得
    mv₀+2mv₀=（m+3m）v_AC+mv_B
根据动量定理得
   对A：-μmgt=m（v_AC-v₀）
   对C：（μmg+2μmg）t=3mv_AC
联立以上三式
    v_AC=0.5v₀，v_B=v₀
（3）AC相对静止前，AB做匀减速运动，C做匀加速运动，三个物体的加速度分别为
    a_A=

μmg

m

=μg
    aB=

2μmg

m

=2μg
    a_C=

μmg+2μmg

3m

=μg
AC相对静止后，AC做匀加速运动，B做匀减速运动，三个物体的加速度分别为
    a_A′=a_C′=

2μmg

m+3m

=0.5μg
   a_B′=a_B=2μg
最终三个物体一起做匀速直线运动．
从开始运动到三个物体都相对静止，A、B相对于地的位移分别为
   s_A=

v 20 - v 2AC

2aA

+

v2- v 2AC

2aA′

=0.485

v 20

μg

  s_B=

(2v0)2-v2

2aB

=0.91

v 20

μg

所以A与B最终相距△s=s₀+s_B-s_A=s₀+0.425

v 20

μg

      
（4）设整个运动过程中AC相对于滑行的距离为s，则B相对于C滑行的距离为s+△s-s₀．
根据能量守恒定律得
   μmgs+2μmg（s+△s-s₀）=

1

2

m

v

20

+

1

2

m(2v0)2-

1

2

(m+m+3m)v2
解得s=s₀+0.425

v 20

μg

    
整个过程中A、B与木板C因摩擦所产生的热量分别为
   Q_A=μmgs
   Q_B=2μmg（s+△s-s₀）
代入解得
  

QA

QB

=

5

27

答：
（1）最终A、B、C的共同速度为0.6v₀．
（2）运动过程中A的最小速度为0.5v₀．
（3）A与B最终相距得s₀+0.425

v 20

μg

    
（4）整个过程中A、B与木板C因摩擦所产生的热量之比为5：27．