题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，静止在粗糙水平面上的斜面体有三个光滑斜面AB、AC和CD．已知斜面AB与水平方向成37°角，斜面AC与水平方向成53°角，斜面CD与水平方向成30°角，A点与C点的竖直高度为h₁=0.8m，C点与D点的竖直高度为h₂=3.25m．在B点左侧的水平面上有一个一端固定的轻质弹簧，自然长度时弹簧右端到B点的水平距离为s=3.9m．质量均为m=1kg的物体甲和乙同时从顶点A由静止释放，之后甲沿斜面AB下滑，乙沿AC下滑．在甲乙两物体下滑过程中，斜面体始终处于静止状态，且两物体运动中经过B点、C点、D点时，速度大小不改变，只改变方向．甲进入水平面后向左运动压缩弹簧的最大压缩量为x=0.1m，乙物体进入水平面后便向右运动最终停止．已知甲物体与水平面的动摩擦因数为μ=0.6，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²．求：
（1）弹簧的最大弹性势能为多少？
（2）甲物体最终停止位置距B点多远？
（3）通过计算，说明甲乙两物体是否同时滑到水平面上？

答案

（1）当滑块甲运动到最左端时，弹簧的弹性势能最大，对滑块甲从A到最左端过程运用动能定理，得到
mg（h₁+h₂）-μmg（S+x）-W_弹=0-0
弹簧弹力做的功等于弹性势能增加量，故
E_pm=W_弹
解得
E_pm=mg（h₁+h₂）-μmg（S+x）=1×10×（0.8+3.25）-0.6×1×10×（3.9+0.1）=16.5J
即弹簧的最大弹性势能为16.5J．
（2）对甲物体从开始到停止运动的整个过程运用动能定理，有
mg（h₁+h₂）-μmg•L=0-0
解得
L=

h1+h2

μ

=6.75m
故甲物体最终停止位置距B点为：x₁=2（h₁+h₂）-L=1.25m．
 （3）甲物体受重力、支持力，根据牛顿第二定律，有
mgsin37°=ma₁
根据位移时间公式，有

h1+h2

sin37°

=

1

2

a1

t

21

解得
t₁=1.5s
对于乙物体，在倾角为53°的斜面上时，加速度设为a2，在倾角为30°的斜面上时，加速度设为a₃
根据牛顿第二定律，有
mgsin53°=ma₂
mgsin30°=ma₃
根据运动学公式，有

h1

sin53°

=

1

2

a2

t

22

v=a₂t₂

h2

sin30°

=vt₃+

1

2

a3

t

23

解得
t₂=0.5s
t₃=1s
故t₁=t₂+t₃
即甲乙两物体同时到达水平面上．