题目

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【题文】已知函数满足：①定义域为R；②，有；③当时，．记．根据以上信息，可以得到函数的零点个数为                                                    （   ）

A．15

B．10

C．9

D．8

答案

【答案】B

解析

【解析】根据条件：③当x∈[0，2]时，f（x）=2-|2x-2|可以作出函数图象位于[0，2]的拆线，再由?x∈R，有f（x+2）=2f（x），可将图象向右伸长，每向右两个单位长度，纵坐标变为原两倍，由此可以作出f（x）的图象，找出其与g(x)= (x∈[-8，8])的交点，就可以得出φ（x）的零点，问题迎刃而解．
解：根据题意，作出函数y=f（x）（-8≤x≤8）的图象：

在同一坐标系里作出g(x)= (x∈[-8，8])的图象，可得两图象在x轴右侧有8个交点．
所以φ(x)="f(x)-" (x∈[-8，8])有8个零点，
∵任意的x，有f（x+2）=2f（x），
∴当x=-1时，f（-1+2）=2f（-1）?f（-1）=f（1）=1，满足φ（x）="f(x)-" =0
而x=0也是函数φ（x）的一个零点，并且当x＜-1时，函数φ（x）没有零点
综上所述，函数φ（x）的零点一共10个
故选B