题目

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【题文】判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·；
（3）；（4）

答案

【答案】⑴奇函数，⑵既不是奇函数也不是偶函数，⑶奇函数，⑷奇函数

解析

【解析】判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。
（1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点.
∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x），
∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数.
（2）先确定函数的定义域.由≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数.
（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.
由得
故f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0.
从而有f（x）==，∴f（－x）==－=－f（x）
故f（x）为奇函数.
（4）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0，
∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）.
当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.
故函数f（x）为奇函数.
1函数的奇偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 ( 即若奇函数或偶函数的定义域为D, 则时) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件
2分段函数的奇偶性一般要分段证明.③判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.
题型2：证明抽象函数的奇偶性