题目
题型:难度:来源:
【题文】(本题满分12分)若函数对任意的,恒有.当时,恒有.
(1)判断函数的奇偶性,并证明你的结论;
(2)判断函数的单调性,并证明你的结论;
(3)若,解不等式.
(1)判断函数的奇偶性,并证明你的结论;
(2)判断函数的单调性,并证明你的结论;
(3)若,解不等式.
答案
【答案】(1)为奇函数,证明详见解析;(2)为上的减函数,证明详见解析;(3)解集为:.
解析
【解析】
试题分析:(1)抽象函数奇偶性的判断更要紧扣定义,用好所取的特殊值,及它们之间的特殊关系,如取一些特殊值,,等,问题往往就有所突破;(2)抽象函数单调性的判断也要紧扣定义,用好已知条件中的不等关系;(3)解抽象不等式主要是运用抽象函数本身的单调性,这里是运用(2)得出的结论来解题.
试题解析:(1)令,可知,解得
又,移项,,所以为奇函数;
(2)设,且,则,由已知条件知,从而,即,对照定义知:为上的减函数;
(3)由已知条件知,又,所以原不等式可化为,又因为为上的减函数,所以,解得,即原不等式的解集为:.
考点:抽象函数性质的研究及运用.
试题分析:(1)抽象函数奇偶性的判断更要紧扣定义,用好所取的特殊值,及它们之间的特殊关系,如取一些特殊值,,等,问题往往就有所突破;(2)抽象函数单调性的判断也要紧扣定义,用好已知条件中的不等关系;(3)解抽象不等式主要是运用抽象函数本身的单调性,这里是运用(2)得出的结论来解题.
试题解析:(1)令,可知,解得
又,移项,,所以为奇函数;
(2)设,且,则,由已知条件知,从而,即,对照定义知:为上的减函数;
(3)由已知条件知,又,所以原不等式可化为,又因为为上的减函数,所以,解得,即原不等式的解集为:.
考点:抽象函数性质的研究及运用.
核心考点
试题【【题文】(本题满分12分)若函数对任意的,恒有.当时,恒有.(1)判断函数的奇偶性,并证明你的结论;(2)判断函数的单调性,并证明你的结论;(3)若,解不等式.】;主要考察你对函数的奇偶性等知识点的理解。[详细]
举一反三
【题文】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )
A. | B. | C. | D. |
【题文】若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则 ( )
A.f(x)与g(x)均为偶函数 |
B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 |
C.f(x)与g(x)均为奇函数 |
D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 |
【题文】(14分)已知函数是定义在上的奇函数,且在定义域上是减函数,
(1)求函数定义域; (2)若,求的取值范围.
(1)求函数定义域; (2)若,求的取值范围.
【题文】函数和分别是上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )
A.是偶函数 | B.是奇函数 |
C.是偶函数 | D.是奇函数 |
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