题目

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【题文】设，定义（，且为常数），若，，．
①不存在极值；
②若的反函数为，且函数与函数有两个交点，则；
③若在上是减函数，则实数的取值范围是；
④若，在的曲线上存在两点，使得过这两点的切线互相垂直．
其中真命题的序号有__________（把所有真命题序号写上）．

答案

【答案】②③

解析

【解析】因为，令，则，故单调递增，且，，故存在，使得时，；时，，所以是函数的极小值点，故①错误；由已知得，直线与相切时，直线与函数有两个交点，设切点为，因为，所以，，所以，故②正确；由题意得，，因为，由题意可知，在上恒成立，故，解得，故③正确；当时，，设，是曲线上的任意两点，因为
，所以，所以不成立，故的曲线上不存在两点，使得过这两点的切线互相垂直，故④错误，综上，正确的命题有②③．
【命题意图】本题考查新定义、导数几何意义、函数极值和最值等基础知识，意在考查基本的运算能力和逻辑思维能力.