题目

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【题文】已知函数f（x）＝x＋，且f（1）＝2．
（1）求；
（2）判断的奇偶性；
（3）函数在上是增函数还是减函数?并证明．

答案

【答案】（1）；（2）奇函数；（3）增函数.

解析

【解析】
试题分析：（1）根据题意将带入的解析式中，得到关于的方程，进而求得的值；（2）根据（1）得到，再根据函数奇偶性的定义判断其奇偶性，首先确定定义域关于原点对称，其次判断与的关系，得到，则原函数为奇函数；（3）根据函数单调性的定义，首先在任取且，带入函数中，用作差法比较与的大小，得到所以原函数在上为增函数.
试题解析：（1）f（1）=1＋m＝2，m＝1．                        2分
（2）f（x）＝x＋，f（－x）＝－x－＝－f（x），∴f（x）是奇函数．    6分
（3）设x₁、x₂是（1，＋∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，则          7分
f（x₁）－f（x₂）＝x₁＋－（x₂＋）＝x₁－x₂＋（－）
＝x₁－x₂－＝（x₁－x₂）．                    10分
当1＜x₁＜x₂时，x₁x₂＞1，x₁x₂－1＞0，从而f（x₁）－f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）＝＋x在（1，＋∞）上为增函数．                12分
考点：1.函数解析式；2.函数奇偶性；3.函数单调性.