题目
题型:难度:来源:
【题文】请仔细阅读以下材料:
已知是定义在上的单调递增函数.
求证:命题“设,若,则”是真命题.
证明 :因为,由得.
又因为是定义在上的单调递增函数,
于是有. ①
同理有. ②
由①+ ②得.
故,命题“设,若,则”是真命题.
请针对以上阅读材料中的,解答以下问题:
(1)试用命题的等价性证明:“设,若,则:”是真命题;
(2)解关于的不等式(其中).
已知是定义在上的单调递增函数.
求证:命题“设,若,则”是真命题.
证明 :因为,由得.
又因为是定义在上的单调递增函数,
于是有. ①
同理有. ②
由①+ ②得.
故,命题“设,若,则”是真命题.
请针对以上阅读材料中的,解答以下问题:
(1)试用命题的等价性证明:“设,若,则:”是真命题;
(2)解关于的不等式(其中).
答案
【答案】(1)证明见解析;(2)①当时,即时,不等式的解集为:
②当时,即时,不等式的解集为:
③当时,即时,不等式的解集为:
②当时,即时,不等式的解集为:
③当时,即时,不等式的解集为:
解析
【解析】
试题分析:(1)在判断四种命题的关系时,首先要分清命题的条件和结论,当确定了原命题时,要能根据四种命题的关系写出其他三种命题;(2)当一个命题有大前提时,若要写出其他三种命题,大前提需保持不变;(3)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;说明一个命题是假命题,只需举出反例;(4)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.
试题解析: 解:(1)原命题与原命题的逆否命题是等价命题.
原命题的逆否命题:设,若,则: 4分
下面证明原命题的逆否命题为真命题:
因为,由得:, 1分
又是定义在上的单调递增函数
所以 (1) 1分
同理有: (2) 1分
由(1)+(2)得: 1分
所以原命题的逆否命题为真命题
所以原命题为真命题. 1分
(2)由(1)的结论有:,即: 3分
①当时,即时,不等式的解集为: 2分
②当时,即时,不等式的解集为: 2分
③当时,即时,不等式的解集为: 2分
考点:1、命题及其相互关系;2、指数函数和对数函数的性质.
试题分析:(1)在判断四种命题的关系时,首先要分清命题的条件和结论,当确定了原命题时,要能根据四种命题的关系写出其他三种命题;(2)当一个命题有大前提时,若要写出其他三种命题,大前提需保持不变;(3)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;说明一个命题是假命题,只需举出反例;(4)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.
试题解析: 解:(1)原命题与原命题的逆否命题是等价命题.
原命题的逆否命题:设,若,则: 4分
下面证明原命题的逆否命题为真命题:
因为,由得:, 1分
又是定义在上的单调递增函数
所以 (1) 1分
同理有: (2) 1分
由(1)+(2)得: 1分
所以原命题的逆否命题为真命题
所以原命题为真命题. 1分
(2)由(1)的结论有:,即: 3分
①当时,即时,不等式的解集为: 2分
②当时,即时,不等式的解集为: 2分
③当时,即时,不等式的解集为: 2分
考点:1、命题及其相互关系;2、指数函数和对数函数的性质.
核心考点
试题【【题文】请仔细阅读以下材料:已知是定义在上的单调递增函数.求证:命题“设,若,则”是真命题.证明 :因为,由得.又因为是定义在上的单调递增函数,于是有.】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
【题文】下列函数中,随着x的增大,增大速度最快的是( )
A. | B. | C. | D. |
【题文】是定义在上是减函数,则的取值范围是( )
A.[ | B.[] | C.( | D.(] |
【题文】已知函数上是增函数,则实数的取值范围是( )
A. | B. | C. | D. |
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