题目

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【题文】已知－1≤x≤2，求函数f(x)＝3＋2·3^x+1－9^x的值域．

答案

【答案】函数f(x)的值域为[－24,12]．

解析

【解析】
试题分析：利用换元法，转化为二次函数，利用配方法，根据函数的定义域，即可求得函数f（x）的值域．
解：f(x)＝3＋2·3^x+1－9^x＝－(3^x)²＋6·3^x＋3.
令3^x＝t，
则y＝－t²＋6t＋3＝－(t－3)²＋12.
∵－1≤x≤2，∴≤t≤9.              ------------------------6分
∴当t＝3，即x＝1时，y取得最大值12；
当t＝9，即x＝2时，y取得最小值－24，
即f(x)的最大值为12，最小值为－24.
∴函数f(x)的值域为[－24,12]．      -----------------12分
考点：本题主要考查了二次函数的最值问题的研究。
点评：解决该试题的关键是函数值域的求解，考查换元法的运用，运用换元转化为二次函数求值域问题．