题目

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【题文】（本题满分14分）已知二次函数满足且．
（Ⅰ）求的解析式．
（Ⅱ）在区间上, 的图象恒在的图象上方，试确定实数的范围．

答案

【答案】（Ⅰ）f（x）=x²-x+1．（Ⅱ）m<-1

解析

【解析】
试题分析：（Ⅰ）由待定系数法可设f（x）=ax²+bx+c（）, 由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax²+bx+1．又因为f（x+1）-f（x）=2x,代入可得a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x．即2ax+a+b="2x," 所以∴f（x）=x²-x+1．
（Ⅱ）由题意的图象恒在的图象上方即x²-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立，即x²-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立．令g（x）= x²-3x+1-m，其图象的对称轴为直线x=，所以g（x） 在[-1,1]上递减．
所以g（1）>0，即1²-3×1+1-m>0,从而m<-1．
试题解析： （Ⅰ）设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax²+bx+1．  2分
∵f（x+1）-f（x）=2x,∴a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x．
即2ax+a+b="2x,"          4分
所以,  6分∴f（x）=x²-x+1．         7分
（Ⅱ）由题意得x²-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立．即x²-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立．
设g（x）= x²-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=,         9分
所以g（x） 在[-1,1]上递减．
故只需g（1）>0, 即1²-3×1+1-m>0,          12分
解得m<-1．             14分
考点：待定系数法求函数解析式及二次函数性质的应用．