题目
题型:北京模拟题难度:来源:
(Ⅰ)求a2,a3;
(Ⅱ) 求证:a1+a2+…+an=;
(Ⅲ)求证:.
答案
∴,
(Ⅱ)证明:由知 ,
. (1)
所以,即.
从而 a1+a2+…+an=
=.
(Ⅲ) 证明:等价于证明,即 . (2)
当n=1时,,,即n=1时,(2)成立.
设n=k(k≥1)时,(2)成立,即 .
当n=k+1时,由(1)知;
又由(1)及知 均为整数,
从而由 有 即,
所以 ,即(2)对n=k+1也成立.
所以(2)对n≥1的正整数都成立,
即对n≥1的正整数都成立.
核心考点
举一反三
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,试比较的大小,并说明理由.
(1)求实数m的取值范围;
(2)当m取得最小值时,数列{an}满足:a1=m+3,an+1=f′()﹣nan+1,n∈N*.
试证:
①an>n+2;
②+++…+<.
(1)①求证:函数在(0,+∞)上是增函数;
②当x1>0,x2>0时,证明:f(x1)+f(x2)<f(x1+x2);
(2)已知不等式ln(x+1)<x在x>﹣1且x≠0时恒成立,求证:….
(2)试用(1)的结果证明如下命题:设a1≥0,a2≥0,b1,b2为正有理数,若b1+b2=1,则≤a1b1+a2b2;
(3)请将(2)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题。注:当α为正有理数时,有求导公式(xα)′=αxα-1 。
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