题目
题型:不详难度:来源:
(1)若x>2,且,求x的值;(4分)
(2)若X具有性质P,求证:且当xn>1时,x1=1;(6分)
(3)若X具有性质P,且x1=1,x2=q(q为常数),求有穷数列的通
项公式.(8分)
答案
解析
所以x=2b,从而x=4. 4分
(2)证明:取.设满足.
由得,所以、异号.
因为-1是X中唯一的负数,所以、中之一为-1,另一为1,
故 7分
假设,其中,则.
选取,并设满足,即,
则、异号,从而、之中恰有一个为-1.
若=-1,则,矛盾;
若=-1,则,矛盾.
所以x1=1. 10分
(3)解法一:猜测,i="1," 2, …, n. 12分
记,k="2," 3, …, n.
先证明:若具有性质P,则也具有性质P.
任取,.当、中出现-1时,显然有满足;
当且时,、≥1.
因为具有性质P,所以有,、Î,使得,
从而和中有一个是-1,不妨设=-1.
假设且,则.由,得,与
矛盾.所以.从而也具有性质P. 15分
现用数学归纳法证明:,i="1," 2, …, n.
当n=2时,结论显然成立;
假设n=k时,有性质P,则,i="1," 2, …, k;
当n=k+1时,若有性质P,则
也有性质P,所以.
取,并设满足,即.由此可得s与t中有且只有一个为-1.
若,则,所以,这不可能;
所以,,又,所以.
综上所述, ,i="1," 2, …, n. 18分
解法二:设,,则等价于.
记,则数集X具有性质P当且仅当数集B关于
原点对称. 14分
注意到-1是X中的唯一负数,共有n-1个数,
所以也只有n-1个数.
由于,已有n-1个数,对以下三角数阵
注意到,所以,从而数列的通项公式为
,k="1," 2, …, n. 18分
核心考点
试题【对于数集,其中,,定义向量集. 若对于任意,存在,使得,则称X具有性质P.例如具有性质P.(1)若x>2,且,求x的值;(4分)(2)若X具有性质P,求证:且当】;主要考察你对不等式等知识点的理解。[详细]
举一反三
;
;
.
请你观察这三个不等式,猜想出一个一般性的结论,并证明你的结论。
A. | B. | C. | D. |
用数学归纳法证明:()
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