题目

题型：北京期中题难度：来源：

已知数列{a_k}满足：且（k=1，2，…，n﹣1）其中n是一个给定的正整数．
（1）证明：数列{a_k}是一个单调数列；
（2）证明：对一切1＜m＜n，m∈N有：．

答案

证明：（1）∵ （k=1，2，…，n﹣1），
∴a_k≠0．
∵，∴ak+1﹣ak=﹣ak=＞0，
故数列{a_k}是一个递增数列，即数列{a_k}是一个单调数列．
（2）由递推公式，得=，
∴，
令k=1，2，3，…，n﹣1，
有＜，＜，…，
∴，
∴，
∴a_n＜1，
从而有：，
∴，
令k=1，2，3，…，m﹣1，
有，，…，
∴，
将代入整理得
∴对一切1＜m＜n，m∈N有：．