已知数列{an}的各项均为正整数，且满足an+1=an2-2nan+2（n∈N*），又a5=11．（1）求a1，a2，a3，a4的值，并由此推测出{an}的通项 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}的各项均为正整数，且满足a_n+1=a_n²-2na_n+2（n∈N^*），又a₅=11．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值，并由此推测出{a_n}的通项公式（不要求证明）；
（2）设b_n=11-a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，S_n′=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|，求

lim

n→∞

Sn′

的值．

答案

（1）由a₅=11，得11=a₄²-8a₄+2，即a₄²-8a₄-9=0．解得a₄=9或a₄=-1（舍）．
由a₄=9，得a₃²-6a₃-7=0．
解得a₃=7或a₃=-1（舍）．
同理可求出a₂=5，a₁=3．
由此推测a_n的一个通项公式a_n=2n+1（n∈N^*）．
（2）b_n=11-a_n=10-2n（n∈N^*），可知数列{b_n}是等差数列．
S_n=

n(b1+bn)

n(8+10-2n)

=-n²+9n．
当n≤5时，S_n′=S_n=-n²+9n；
当n＞5时，S_n′=-S_n+2S₅=-S_n+40=n²-9n+40．
当n≤5时，

Sn′

=1；
当n＞5时，

Sn′

-n2+9n

n2-9n+40

．
∴

lim

n→∞

Sn′

lim

n→∞

-n2+9n

n2-9n+40

=-1．

核心考点

试题【已知数列{an}的各项均为正整数，且满足an+1=an2-2nan+2（n∈N*），又a5=11．（1）求a1，a2，a3，a4的值，并由此推测出{an}的通项】；主要考察你对数列与函数的关系等知识点的理解。[详细]

举一反三

在数列{a_n}中，若a₁，a₂是正整数，且a_n=|a_n-1-a_n-2|，n=3，4，5，…，则称{a_n}为“绝对差数列”．
（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；
（Ⅱ）若“绝对差数列”{a_n}中，a₂₀=3，a₂₁=0，数列{b_n}满足b_n=a_n+a_n+1+a_n+2，n=1，2，3，…，分别判断当n→∞时，a_n与b_n的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；
（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．

题型：北京难度：| 查看答案

当(x

)6的展开式的第5项的值等于

时，x=______，此时

lim

n→∞

(

+…+

)=______．

题型：东城区一模难度：| 查看答案

等差数列{b_n}的首项为1，公差为2，数列{a_n}与{b_n}且满足关系式bn=

a1+2a2+3a3+…+nan

1+2+3+…+n

（n∈N^*），奇函数f（x）定义域为R，当x＜0时，f(x)=-

qx+p-1

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若q＞0，且

lim

n→∞

f(an)=0，求证p+q＞2．

题型：崇明县二模难度：| 查看答案

若(2x-

)9展开式的第7项为42，则

lim

n→∞

(x+x2+…+xn)=______．

题型：不详难度：| 查看答案

数列{a_n}的通项公式是an=

n+1

(n=1，2)

(n＞2)

，前n项和为S_n，则

lim

n→∞

Sn=______．

题型：崇明县一模难度：| 查看答案

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