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题目
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=
a(x-1)2+1
bx+c-b
(a,b,c∈N),且f(2)=2,f(3)<3,
且f(x)的图象按向量


e
=(-1,0)
平移后得到的图象关于原点对称.
(1)求a、b、c的值;
(2)设0<|x|<1,0<|t|≤1,求证不等式|t+x|-|t-x|<|f(tx+1)|;
(3)已知x>0,n∈N*,求证不等式[f(x+1)]n-f(xn+1)≥2n-2.
答案
(1)将f(x)的图象按向量


e
=(-1,0)
平移后得到的解析式为f(x+1)=
ax2+1
bx+c

g(x)=
ax2+1
bx+c
关于原点对称,则当x=0时有意义,必有g(0)=0…(2分)
而g(0)≠0,所以c=0,且b≠0
f(2)=
a+1
b+c
=2
,∴f(2)=
a+1
b
=2⇒a=2b-1

f(3)=
4a+1
2b+c
<3
,∴f(3)=
4a+1
2b
<3⇒4a<6b-1

8b-4<6b-1⇒b<
3
2

又b∈N,b≠0,所以b=1,a=1∴f(x)=
(x-1)2+1
x-1
…(4分)
(2)|f(tx+1)|=|
(tx)2+1
tx
|=|tx+
1
tx
|

∵tx与
1
tx
同号,所以|tx+
1
tx
|=|tx|+
1
|tx|
≥2
…(6分)
而|t+x|-|t-x|≤|t+x-(t-x)|=2|x|<2
∴|t+x|-|t-x|<|f(tx+1)|…(8分)
(3)[f(x+1)]n-f(xn+1)=(x+
1
x
)n-(xn+
1
xn
)
…(9分)
g(x)=(x+
1
x
)n-(xn+
1
xn
)
,(x>0)
g(x)=
C1n
xn-1(
1
x
)1+
C2n
xn-2(
1
x
)2+…+
Cn-1n
x1(
1
x
)n-1
,…..①g(x)=
Cn-1n
x1(
1
x
)n-1+
Cn-2n
x2(
1
x
)n-2+…+
C1n
xn-1(
1
x
)1
…..②
①②相加得2g(x)=[
C1n
xn-1(
1
x
)1+
Cn-1n
x1(
1
x
)n-1]+…+[
Cn-1n
x1(
1
x
)n-1+
C1n
xn-1(
1
x
)1]

=
C1n
[xn-1(
1
x
)1+x1(
1
x
)n-1]+…+
Cn-1n
[x1(
1
x
)n-1+xn-1(
1
x
)1]
…(12分)
≥2(Cn1+Cn2+…+Cnn-1)=2(2n-2)
∴g(x)≥2n-2,即[f(x+1)]n-f(xn+1)≥2n-2,当x=1时取等号…(14分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=a(x-1)2+1bx+c-b(a,b,c∈N),且f(2)=2,f(3)<3,且f(x)的图象按向量e=(-1,0)平移后得到的图象关于原点】;主要考察你对函数的表示方法等知识点的理解。[详细]
举一反三
欲得到函数y=lnx的图象,只需将函数y=f(x)的图象按向量


a
=(2,3)
平移即可,则f(x)=(  )
A.ln(x-2)+3B.ln(x+2)+3C.ln(x-2)-3D.ln(x+2)-3
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函数f(x)的递增区间是 (-2,3),则函数y=f(x+5)的递增区间是(  )
A.(3,8)B.(-7,-2)C.(-2,3)D.(0,5)
题型:不详难度:| 查看答案
为了得到函数y=log2


x-1
的图象,可将函数y=log2x的图象上所有的点的(  )
A.纵坐标缩短到原来的
1
2
倍,横坐标不变,再向右平移1个单位长度
B.纵坐标缩短到原来的
1
2
倍,横坐标不变,再向左平移1个单位长度
C.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移1个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移1个单位长度
题型:海淀区二模难度:| 查看答案
为了得到函数y=
1
2
log2(x-1)
的图象,可将函数y=log2x的图象上所有的点的(  )
A.纵坐标缩短到原来的
1
2
倍,横坐标不变,再向右平移1个单位长度
B.纵坐标缩短到原来的
1
2
倍,横坐标不变,再向左平移1个单位长度
C.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移1个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移1个单位长度
题型:海淀区二模难度:| 查看答案
在同一平面直角坐标系中,函数y=g(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称.而函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称,若f(m)=-1,则m的值是(  )
A.-eB.-
1
e
C.eD.
1
e
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