题目

题型：不详难度：来源：

已知过函数f（x）=的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3．
（1）求a、b的值；
（2）求A的取值范围，使不等式f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立；
令．是否存在一个实数t，使得当时，g（x）有最大值1？

答案

（1）a=－3，b=－1；（2）存在一个a=，使g（x）在上有最大值1．

解析

（1）=
依题意得k==3+2a=－3， ∴a=－3
，把B（1，b）代入得b=
∴a=－3，b=－1
（2）令=3x²－6x=0得x=0或x=2
∵f（0）=1，f（2）=2³－3×2²＋1=－3
f（－1）=－3，f（4）=17
∴x∈[－1，4]，－3≤f（x）≤17
要使f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立，则f（x）的最大值17≤A－1987
∴A≥2004．
已知g（x）=－
∴
∵0＜x≤1，∴－3≤－3x²＜0，
当t＞3时，t－3x²＞0， ∴g（x）在上为增函数，
g（x）的最大值g（1）=t－1=1,得t=2（不合题意,舍去）
当0≤t≤3时,
令=0,得x=
列表如下:

x	（0, ）
	＋	0	－
g（x）	↗	极大值	↘

g（x）在x=处取最大值－＋t=1
∴t==＜3
∴x=＜1
③当t＜0时，＜0，∴g（x）在上为减函数，
∴g（x）在上为增函数，
∴存在一个a=，使g（x）在上有最大值1．