题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知函数，如果存在给定的实数对（），使得恒成立，则称为“S-函数”.
（1）判断函数是否是“S-函数”；
（2）若是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对；
（3）若定义域为的函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时函数的值域.

答案

(1)是
(2) 满足是一个“S-函数”的常数（a, b）=
(3)

解析

解：（1）若是“S-函数”，则存在常数，使得 (a+x)(a-x)=b.
即x2=a2-b时，对xÎR恒成立.而x2=a2-b最多有两个解，矛盾，
因此不是“S-函数”.………………………………………………3分
若是“S-函数”，则存在常数a,b使得，
即存在常数对（a, 32a）满足.
因此是“S-函数”………………………………………………………6分
（2）是一个“S-函数”，设有序实数对（a, b）满足:
则tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立.
当a=时，tan(a-x)tan(a+x)= -cot2(x)，不是常数.……………………7分
因此，,
则有.
即恒成立. ……………………………9分
即,
当,时，tan(a-x)tan(a+x)=cot2(a)=1.
因此满足是一个“S-函数”的常数（a, b）=.…12分
(3) 函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，
于是
即,
 ，.……………………14分
.………16分
                  
因此, …………………………………………17分

综上可知当时函数的值域为.……………18分