题目

题型：不详难度：来源：

(1)已知函数为有理数且)，求函数的最小值;
(2)①试用(1)的结果证明命题：设为有理数且，若时，则；
②请将命题推广到一般形式，并证明你的结论；
注：当为正有理数时，有求导公式

答案

（1）（2）①关键是利用函数的最小值为②利用数学归纳法可证。

解析

试题分析：解：（Ⅰ）令
得
当时，，故在上递减．
当，故在上递增．
所以，当时，的最小值为 
（Ⅱ）（ⅰ），令，由（Ⅰ）知
，，即 
（ⅱ）命题推广到一般形式为：设为有理数且，
若时，则.
下面用数学归纳法证明如下：①当时，由（Ⅱ）（ⅰ）知，不等式成立；
②假设时，不等式成立，即，
那么时，要证，
即证，
设函数，
则，
令，得，
当时，，
故在上递减；
当，类似可证，故在上递增．
当时，的最小值为



，
由归纳假设知，所以，
，
时不等式成立.
综上，原命题得证 
点评：本题用到的数学归纳法，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。若要证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤：
（1）证明当n取第一个值时命题成立。对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；
（2）假设当n=k（k≥，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（≥），命题P(n）都成立。