题目

题型：不详难度：来源：

设函数f(x)＝，g(x)＝f(x)－ax，x∈[1,3]，其中a∈R，记函数g(x)的最大值与最小值的差为h(a)．
(1)求函数h(a)的解析式；
(2)画出函数y＝h(x)的图象并指出h(x)的最小值．

答案

（1）h(a)＝
（2）见解析

解析

解：(1)由题意知g(x)＝
当a<0时，函数g(x)是[1,3]上的增函数，
此时g(x)_max＝g(3)＝2－3a，
g(x)_min＝g(1)＝1－a，
所以h(a)＝1－2a；
当a>1时，函数g(x)是[1,3]上的减函数，
此时g(x)_min＝g(3)＝2－3a，
g(x)_max＝g(1)＝1－a，
所以h(a)＝2a－1；
当0≤a≤1时，若x∈[1,2]，
则g(x)＝1－ax，有g(2)≤g(x)≤g(1)；
若x∈(2,3]，则g(x)＝(1－a)x－1，
有g(2)<g(x)≤g(3)，
因此g(x)_min＝g(2)＝1－2a，
而g(3)－g(1)＝(2－3a)－(1－a)＝1－2a，
故当0≤a≤时，g(x)_max＝g(3)＝2－3a，有h(a)＝1－a；
当<a≤1时，g(x)_max＝g(1)＝1－a，有h(a)＝a.
综上所述，h(a)＝
(2)画出y＝h(x)的图象，如图所示，数形结合可得h(x)_min＝h()＝.