题目

题型：不详难度：来源：

某地需要修建一条大型输油管道通过240公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的工程费用为400万元，铺设距离为公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为万元．设余下工程的总费用为万元．
(1)试将表示成的函数；
(2)需要修建多少个增压站才能使最小，其最小值为多少？

答案

（1）y＝＋240x－160(0＜x≤240)；（2）11，9440

解析

试题分析：（1）设增加个增压站，有题意知(k＋1)x＝240，即k＝－1，根据题意将用表示出来，主要定义域；（2）利用基本不等式求出（1）中函数的最小值及取最小值时的值，再利用（1）中与的关系式，求出值.
试题解析：（1)设需要修建k个增压站，则(k＋1)x＝240，即k＝－1.
所以y＝400k＋(k＋1)(x²＋x)＝400＋(x²＋x)＝＋240x－160.   5分
因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x≤240.
故y与x的函数关系是y＝＋240x－160(0＜x≤240)．      7分
(2)y＝＋240x－160≥2－160＝2×4 800－160＝9 440.   9分
当且仅当＝240x，即x＝20时取等号．           10分
此时，k＝－1＝－1＝11.                  11分
故需要修建11个增压站才能使y最小，其最小值为9 440万元．     12分