题目

题型：不详难度：来源：

本题有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7份，请考生任选2题作答，满分14分.
如果多做，则按所做的前两题计分.
选修4系列（本小题满分14分）
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
设是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍，纵坐标伸长到倍的伸压变换．
（Ⅰ）求矩阵的特征值及相应的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩阵以及椭圆在的作用下的新曲线的方程．
(2)（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程，曲线C的参数方程为为参数），求曲线C截直线l所得的弦长
（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
已知，且、、是正数，求证：.

答案

解析

（Ⅰ）由条件得矩阵，
它的特征值为和，对应的特征向量为及；……………………3分
（Ⅱ），椭圆在的作用下的新曲线的方程为．…………7分
(2)解：由可化为直角坐标方程      （1）  ……2分
参数方程为为参数）可化为直角坐标方程     (2)   ……4分
联立（1）（2）得两曲线的交点为       ……………………6分
所求的弦长.       ………………7分
（3）证明：左边=           ………………2分
   …………6分
.                        ………………7分