题目

题型：不详难度：来源：

在极坐标系中，过曲线L：（＞0）外的一点A（2，）（其中tanθ=2，θ为锐角）作平行于θ=（）的直线与曲线L分别交于B、C。
（1）写出曲线L和直线的普通方程（以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建系）；（2）若︱AB︱、︱BC︱、︱AC︱成等比数列，求的值。

答案

（1）L：y²=2ax，A（－2，－4）  ：y=x－2（2）a=1

解析

本试题主要是考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及等比数列的概念的运用。
（1）因为过曲线L：，两边同时乘以化简为直角坐标方程。
（2）将与抛物线联立得到二次方程，结合数列的关系式︱BC︱²=︱AB︱︱AC︱，和t的几何意义得到参数a的值。
（1）L：y²=2ax，A（－2，－4）  ：y=x－2
与抛物线联立得t²－2（4+a）t+8（4+a）=0
由已知：︱BC︱²=︱AB︱︱AC︱，由t的几何意义︱t₁－t₂︱²=︱t₁t₂︱得a=1