题目

题型：高考真题难度：来源：

如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x²-14x+mn=0的两个根．
（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；
（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．

答案

（Ⅰ）证明：连接DE，
根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC，
即，
又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB，
因此∠ADE=∠ACB，
所以C，B，D，E四点共圆。
（Ⅱ）解：m=4，n=6时，方程x²-14x+mn=0的两根为x₁=2，x₂=12，
故AD=2，AB=12，
取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，
两垂线相交于H点，连接DH，
因为C，B，D，E四点共圆，
所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH，
由于∠A=90°，
故GH∥AB，HF∥AC，HF=AG=5，DF=(12-2)=5，
故C，B，D，E四点所在圆的半径为5。