题目

题型：海南省模拟题难度：来源：

如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E，
（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；
（Ⅱ）若AC=AP，求的值。

答案

解：（Ⅰ）∵PA是切线，AB是弦，
∴∠BAP=∠C，
又∵∠APD=∠CPE，
∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，
∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE，
∴∠ADE=∠AED；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠BAP=∠C，
又∵∠APC=∠BPA，
∴△APC∽△PBA，
∴，
∵AC=AP，
∴∠APC=∠C，
∴∠APC=∠C=∠BAP，
由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°，
∵BC是圆O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°，
∴∠C=∠APC=∠BAP=，
在Rt△ABC中，，即，
∴，
∴。