题目

题型：专项题难度：来源：

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，且DE交AC的延长线于点E，OE交AD于点F。
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，求的值。

答案

解：（1）证明：连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC，
∴OD⊥AE，
又AE⊥DE，
∴DE⊥OD
又OD为半径，
∴DE是⊙O的切线。
（2）过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB，
cos∠DOH=cos∠CAB=
设OD=5x，则AB=10x，OH=3x，DH=4x，
∴AH=8x，AD²=80x²
由△AED∽△ADB可得AD²=AE·AB=AE·10x，
∴AE=8x，
又由△AEF∽△DOF，
可得AF：DF=AE：OD=
∴。