题目

题型：不详难度：来源：

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，f″（x）是函数f（x）的导数，此时，称f″（x）为原函数f（x）的二阶导数．若二阶导数所对应的方程f""（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．
设三次函数f（x）=2x³-3x²-24x+12请你根据上面探究结果，解答以下问题：
①函数f（x）=2x³-3x²-24x+12的对称中心坐标为______；
②计算f(

1

2013

)+f(

2

2013

)+f(

3

2013

)+…+f(

2012

2013

)+f(

2013

2013

)=______．

答案

①由f（x）=2x³-3x²-24x+12，得f^′=6x²-6x-24，f^′′（x）=12x-6．
由f^′′（x）=12x-6=0，得x=

1

2

.f(

1

2

)=2×(

1

2

)3-3×(

1

2

)2-24×

1

2

+12=-

1

2

．
所以函数f（x）=2x³-3x²-24x+12的对称中心坐标为(

1

2

，-

1

2

)．
故答案为(

1

2

，-

1

2

)．
②因为函数f（x）=2x³-3x²-24x+12的对称中心坐标为(

1

2

，-

1

2

)．
所以f(

1

2013

)+f(

2012

2013

)=f(

2

2013

)+f(

2011

2013

)=…=2f(

1

2

)=2×(-

1

2

)=-1．
由f(

2013

2013

)=f(1)=-13．
所以f(

1

2013

)+f(

2

2013

)+f(

3

2013

)+…+f(

2012

2013

)+f(

2013

2013

)=-1006-13=-1019．
故答案为-1019．