题目

题型：同步题难度：来源：

如图所示，从四面体内部任意一点向各面引垂线，其长度分别为d₁、d₂、d₃、d₄，且相应各面上的高分别为h₁、h₂、 h₃、h₄，求证：。

答案

证明：平面上与空间中相类似的情形是：
从三角形内部任意一点向各边引垂线，其长度分别为d₁、d₂、d₃，
且相应各边上的高分别为h₁、h₂、h₃。
求证：
此题证明的方法是将两个同底三角形高的比转化为面积之比，
如图所示有：

将上面三式相加即得结论：
由平面上的证明方法类比联想就可解决空间中的情形：
将同底的两个三棱锥高的比转化为体积之比，
事实上，如图所示，容易证明：


将上面各式相加即得结论。