题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知正△A₁B₁C₁ 的边长是1，面积是P₁，取△A₁B₁C₁ 各边的中点A₂，B₂，C₂，△A₂B₂C₂ 的面积为P₂，再取△A₂B₂C₂ 各边的中点A₃，B₃，C₃，△A₃B₃C₃ 的面积为P₃，依此类推．记S_n=P₁+P₂+…+P_n 
，则

lim

n→∞

Sn （　　）

A． 3 3

B． 3

C．2 3

D．4 3

答案

∵正△A₁B₁C₁ 的边长是1，
∴面积是P1=

3

4

×12_，
取△A₁B₁C₁各边的中点A₂，B₂，C₂，则△A₂B₂C₂ 的边长为

1

2

，
其面积为P2=

3

4

×(

1

2

)2_，
再取△A₂B₂C₂ 各边的中点A₃，B₃，C₃，则△A₃B₃C₃ 的边长为

1

4

，
其面积为P3=

3

4

×(

1

4

)2，
…
依此类推得Pn=

3

4

×[(

1

2

)n-1]2，
∵S_n=P₁+P₂+…+P_n，
∴S_n=

3

4

×12+

3

4

×(

1

2

)2+

3

4

×(

1

4

)2+…+

3

4

×[(

1

2

)n-1]2
=

3

4

{ [12+ (

1

2

)2+(

1

4

)2+…+[(

1

2

)n-1]2 }=

3

4

×

1•[1-( 1 4 )n ]

1- 1 4

，
∴

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

3

4

×

1•[1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

3

4

×

1

1- 1 4

₌

3

3

．
故选A．