数列{2n-1}的前n项1,3,7,…,2n-1组成集合An={1,3,7,…,2n-1}(n∈N*),从集合An中任取k(k=1,2,3,…,n)个数,其所有可能的k个数的乘积的和为Tk(若只取一个数,规定乘积为此数本身),记Sn=T1+T2+…+Tn.例如当n=1时,A1={1},T1=1,S1=1;当n=2时,A2={1,3},T1=1+3,T2=1×3,S2=1+3+1×3=7.则当n=3时,S3=______;试写出Sn=______. |
当n=3时,A3={1,3,7}, T1=1+3+7=11,T2=1×3+1×7+3×7=31,T3=1×3×7=21, 所以S3=11+31+21=63; 由S1=1=21-1=2-1,S2=7=23-1=2-1,S3=63=26-1=2-1,猜想Sn=2-1,下面证明: (1)易知n=1时成立; (2)假设n=k时Sk=2-1, 则n=k+1时,Sk+1=T1+T2+T3+…+Tk+1 =[T1′+(2k+1-1)]+[T2′+(2k+1-1)T1′]+[T3′+(2k+1-1)T2′]+…+[Tk′+(2k+1-1)Tk′](其中Ti′,i=1,2,…,k,为n=k时可能的k个数的乘积的和为Tk), =(T1′+T2′+T3′+…Tk′)+(2k+1-1)+(2k+1-1)(T1′+T2′+T3′+…Tk′) =Sk+(2k+1-1)+(2k+1-1)Sk =2k+1(2-1)+(2k+1-1) =2k+1•2-1=2-1,即n=k时Sk+1=2-1也成立, 综合(1)(2)知对n∈N*Sn=2-1成立. 所以Sn=2-1. 故答案为:63;Sn=2-1. |
核心考点
试题【数列{2n-1}的前n项1,3,7,…,2n-1组成集合An={1,3,7,…,2n-1}(n∈N*),从集合An中任取k(k=1,2,3,…,n)个数,其所有】;主要考察你对
合情推理与演译推理等知识点的理解。
[详细]
举一反三
学习合情推理后,甲、乙两位同学各举了一个例子,甲:由“若三角形周长为l,面积为S,则其内切圆半径r=”类比可得“若三棱锥表面积为S,体积为V,则其内切球半径r=”;乙:由“若直角三角形两直角边长分别为a,b,则其外接圆半径r=”;类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直,侧棱长分别为a、b、c,则其外接球半径r=”.这两位同学类比得出的结论( )A.两人都对 | B.甲错、乙对 | C.甲对、乙错 | D.两人都错 |
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某种游戏中,黑、黄两个“电子狗”从棱和为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段”,黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→…,黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→…,它们都遵循如下规则:所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须异面直线(其中i是正整数).设黑“电子狗”爬完2012段、黄“电子狗”爬完2011段后各自停止在正方体的某个顶点处,这时黑、黄“电子狗”间的距离是( ) |
在回归分析的问题中,我们可以通过对数变换把非线性回归方程y=c1ec2x(c1>0)转化为线性回归方程,即两边取对数,令z=lny,得到z=c2x+lnc1.受其启发,可求得函数y=xlog2(4x)(x>0)的值域是______. |
下面是电影《达芬奇密码》中的一个片段:女主角欲输入一个由十个数字组成的密码,但当她果断地依次输入了前八个数字11235813,欲输入最后两个数字时她犹豫了,也许是她真的忘记了最后的两个数字、也许….请你依据上述相关信息推测最后的两个数字最有可能的是( ) |
下列说法正确的是( )A.由合情推理得出的结论一定是正确的 | B.合情推理必须有前提有结论 | C.合情推理不能猜想 | D.合情推理得出的结论无法判定正误 |
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