题目
题型:不详难度:来源:
与
是互素的合数.(这里与分别表示有限数集的所有元素之和及元素个数.)
答案
解析
第一步,我们证明,正整数的n元集合具有下述性质:对的任意两个不同的非空子集A,B,有.
证明:对任意,,设正整数k满足
, ①
并设l是使的最小正整数.我们首先证明必有.
事实上,设是A中最大的数,则由,易知A中至多有个元素,即,故.又由的定义知,故由①知.特别地有.
此外,显然,故由l的定义可知.于是我们有.
若,则;否则有,则
.
由于是A中最大元,故上式表明.结合即知.
现在,若有的两个不同的非空子集A,B,使得,则由上述证明知,故,但这等式两边分别是A,B的元素和,利用易知必须A=B,矛盾.
第二步,设K是一个固定的正整数,,我们证明,对任何正整数x,正整数的n元集合具有下述性质:对的任意两个不同的非空子集A,B,数与是两个互素的整数.
事实上,由的定义易知,有的两个子集,满足,,且
. ②
显然及都是整数,故由上式知与都是正整数.
现在设正整数d是与的一个公约数,则是d的倍数,
故由②可知,但由K的选取及的构作可知,是小于K的非零整数,故它是的约数,从而.再结合及②可知d=1,故与互素.
第三步,我们证明,可选择正整数x,使得中的数都是合数.由于素数有无穷多个,
故可选择n个互不相同且均大于K的素数.将中元素记为,
则,且(对),
故由中国剩余定理可知,同余方程组
,
有正整数解.
任取这样一个解x,则相应的集合中每一项显然都是合数.结合第二步的结果,这一n元集合满足问题的全部要求.
核心考点
试题【给定整数,证明:存在n个互不相同的正整数组成的集合S,使得对S的任意两个不同的非空子集A,B,数 与 是互素的合数.(这里与分别表示有限数集的所有元素之和及元素】;主要考察你对合情推理与演译推理等知识点的理解。[详细]
举一反三
请给予证明.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)已知数列{xn}的项满足xn=[1-f(1)][1-f(2)]…[1-f(n)],试求x1,x2,x3,x4;
(3)猜想{xn}的通项.
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