题目

题型：不详难度：来源：

先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：
已知a₁，a₂∈R，a₁＋a₂＝1，求证：＋≥.
证明：构造函数f(x)＝(x－a₁)²＋(x－a₂)²，f(x)对一切实数x∈R，恒有f(x)≥0，则Δ＝4－8(＋)≤0，∴＋≥.
(1)已知a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁＋a₂＋…＋a_n＝1，请写出上述结论的推广式；
(2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明．

答案

（1）见解析（2）见解析

解析

(1)已知a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁＋a₂＋…＋a_n＝1，
则＋＋…＋≥.
(2)构造函数f(x)＝(x－a₁)²＋(x－a₂)²＋…＋(x－a_n)²
＝nx²－2(a₁＋a₂＋…＋a_n)x＋＋＋…＋
＝nx²－2x＋＋＋…＋，
f(x)对一切实数x∈R，恒有f(x)≥0，
则Δ＝4－4n(＋＋…＋)≤0，
∴＋＋…＋≥