题目

题型：湖北省模拟题难度：来源：

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三视图如图所示，且D是BC的中点，
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求二面角C₁-AD-C的余弦值；
（Ⅲ）试问线段A₁B₁上是否存在点E，使AE与DC₁成60°角？若存在，确定E点位置，若不存在，说明理由。

答案

（Ⅰ）证明：根据三视图知：三棱柱是直三棱柱，
，，
连结，交于点O，连结OD，
由是直三棱柱，
得四边形为矩形，
O为A₁C的中点，
又D为BC中点，
所以OD为中位线，
所以∥OD，             
因为平面，平面，
所以∥平面。           （Ⅱ）解：由是直三棱柱，
且，
故两两垂直，
如图建立空间直角坐标系B-xyz ，      
∵BA=2，
则，
所以，，
设平面的法向量为，
则有所以，
取y=1，得，
易知平面ADC的法向量为，
由二面角是锐角，
得，
所以二面角的余弦值为。
（Ⅲ）解：假设存在满足条件的点E，
因为E 在线段上，，，
故可设，其中，
所以，，
因为与成60°角，
所以，即，
解得λ=1，舍去λ=3，
所以当点E为线段中点时，AE与DC₁成60°角。