三棱锥P-ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，且∠CPB=30°，则∠PCB=______． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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三棱锥P-ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，且∠CPB=30°，则∠PCB=______．

答案

三棱锥P-ABC中，
∵∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴BC⊥AB，BC⊥PA，
∵PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB．
∵PB⊂平面PAB，∴∠PBC=90°，
∵∠CPB=30°，∴∠PCB=60°．
故答案为：60°．

核心考点

试题【三棱锥P-ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，且∠CPB=30°，则∠PCB=______．】；主要考察你对向量求夹角等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC₁上动点，F是AB中点，AC=1，BC=2，AA₁=4．
（1）当E是棱CC₁中点时，求证：CF∥平面AEB₁；
（2）在棱CC₁上是否存在点E，使得二面角A-EB₁-B的余弦值是

，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由．

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三棱锥P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=

，PB=

，求PC与AB所成角的余弦值．

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如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与平面α所成的角为

，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，若AB=3A"B"，则AB与平面β所成的角的正弦值是（　　）

A．

B．

C．

D．

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如图梯形ABCD，AD∥BC，∠A=90°，过点C作CE∥AB，AD=2BC，AB=BC，，现将梯形沿CE折成直二面角D-EC-AB．
（1）求直线BD与平面ABCE所成角的正切值；
（2）设线段AB的中点为P，在直线DE上是否存在一点M，使得PM∥面BCD？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；

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如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，M，N分别是AB，PC的中点．
（1）求二面角P-CD-B的大小；
（2）求证：平面MND⊥平面PCD；
（3）求点P到平面MND的距离．

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